飞车走壁受力分析图 飞车走壁中的力学知识
与具有古老历史和传统的其它杂技项目不同,飞车走壁是和自行车、摩托车和汽车等现代交通工具相关,极具时代特征的杂技项目图1。
上世纪30年代,国人皮德福从英国引进飞车木桶,创立了飞车表演团,以其难度、技巧和观赏性而引起轰动。
此后不少省市也相继成立了飞车团队,走壁的飞车从自行车发展成摩托车和小汽车,原始的大木桶也发展成钢制的圆球形网状结构图2。
观众不必攀登到木桶顶部的边缘向下俯视,就能以任意角度欣赏精彩的飞车表演。
上海杂技团的 “时空飞车” 节目中,8个现代化勇士骑着摩托车从四面八方冲进直径6.5米的巨型钢球,高速飞驰穿梭翻腾的表演令观众惊心动魄。
图1 大木桶内的飞车走壁
图2 球形钢网内的飞车走壁
在略带锥度的圆柱形木桶内,骑手在与地面平行的平面内能紧贴桶壁完成圆周运动,是因为桶壁对车轮的摩擦力平衡了车的重力。
只要车的重力不超过桶壁的最大静摩擦力就不会掉落。
根据库伦摩擦定律,最大静摩擦力与正压力成正比。
而正压力来自离心惯性力对桶壁的挤压,与车速的平方成正比。
圆柱形木桶内的飞车如偏离水平面,轨迹的曲率就会减小,离心惯性力和正压力,乃至最大静摩擦力都随之减小。
因此,骑手在木桶内的运动不能偏离水平面太远。
当木桶发展成钢制圆球时,情况就不同了。
骑手沿球面内的任意圆弧运动都有离心惯性力存在,它不仅产生正压力和摩擦力,而且沿铅垂轴的分量直接参与了重力的平衡。
由于摩擦力和离心惯性力共同分担车的重力,骑手甚至可在过顶点的垂直平面内飞驰,获得更大的自由度。
为分析飞车沿球面内任意大圆弧的运动,以球壁的球心O 为原点,建立固定参考坐标系 OXYZ。
Z 轴为垂直轴,X 轴沿运动平面与过O 点水平面的交线图3。
令 OXYZ 绕X 轴转过α 角,使Z 轴到达的新位置与运动平面的法线轴z 重合。
再绕z 轴转过β 角的位置记作 Oxyz,x 轴沿球壁的外法线指向车和车手的质心 P,y 轴沿车的速度方向。
α 和β 是确定飞车位置P 的两个角度坐标。
设载人车的质量为m,速度为v,球面的半径为R,桶壁对车轮的约束力F 作用于前后轮接触点连线的中点Q。
设F 沿x、y、z 各轴的分量为Fx、Fy、Fz,其中Fx=Fn 为法向约束力,沿x 轴的负方向,Fy、Fz 为沿切向的摩擦力。
离心惯性力mv²/R 沿x 轴的正方向,重力mg 沿Z 轴的负方向。
根据达朗贝尔原理列出车体沿x、y、z 各轴的质心运动方程:
图3 沿球形壁运动的飞车受力图
为使车轮保持紧贴球壁的滚动状态,法向的单面约束力Fn 必须为正值,且摩擦力 Fy、Fz 的模必须小于最大静摩擦力。
即以下 3 个约束条件必须同时满足:
其中,f 为静摩擦因数。
各约束条件均与车的质量无关,因为所有的作用力均包含质量因素而相互抵消了。
将上式中的不等号换成等号,解出速度v 的3个临界值:
vcr,j j=1,2,3 中的最大值是能使飞车贴壁滚动的3个约束条件全部满足的最低车速:
vmin 随α 和β 的变化曲线在图4中给出。
作为特例,α=0 是在水平的赤道面内运动的飞车,圆周上各点有相同的最低速度vmin=gR/f1/2。
设R=6m,f=0.4,算出的最低速度约为12m/s。
对应的加速度v²/R 为24m/s²≈2.4g,超过了重力加速度的两倍。
实际上飞车的表演速度大大超过此最低速度,如车速增至18m/s,车手就必须承受5g 以上的加速度。
α=90°是在垂直平面内运动的另一特例,最低速度随车体的不同位置而改变。
在β=90°的圆周顶端达最小值vmin=gR1/2,此时车的重力完全由离心惯性力平衡。
按以上数据算出的最低速度gR1/2 约为8m/s。
由此可见,虽然沿垂直面运动的飞车看起来惊险万分,在顶端甚至处于倒悬状态,但必需的最低速度反而比沿水平面的飞车小得多。
图4 vmin/gR1/2随α 和β 的变化曲线
用于飞车的圆筒形木桶相对垂直轴通常有γ=10°左右的倾角而略带锥度。
设飞车在桶内作半径为R 的水平圆周运动。
以圆心O 为原点,Z 轴为垂直轴,O 点至车的质心P 的连线为水平轴X。
令 OXYZ 绕Y 轴转过γ 角,使X 轴和Z 轴到达的新位置平行于接触点Q 处桶壁的法线轴x 和切线轴z,y 轴沿飞车前进方向。
参照图5表示的受力状况,仅保留γ 的一次项,列出车在重力、惯性力和约束力作用下沿x 轴和 z 轴的平衡方程:
γ 角在0°至90°范围内变化时,为保证车轮紧贴球壁滚动的Fn>0条件可自动满足。
飞车的最低速度可从另一条件|Fz|<fFn 得出:
图5 沿锥形壁运动的飞车受力图
图6为f=0.4时,飞车的最低速度vmin 随γ 角的变化曲线。
当γ 增大桶壁趋于平坦时,最低速度随之降低。
对于cotγ=f 的特殊情形,即γ=68°或桶壁相对地面坡度为22°的特殊情形,vmin=0。
此时重力的切向分量等于最大摩擦力而产生自锁,即使车速接近零也不会下滑。
当车在此位置以任意速度行驶时,所产生的离心惯性力均能推动车向上方移动。
图6 vmin/gR1/2随γ 的变化曲线
类似现象发生在自行车的场地赛。
自行车赛场的圆形赛道外圈高于内圈,形成弧形断面,便于使车的重力产生向心力分量。
按以上分析,最低速度与半径的平方根成正比,内圈的最低速度低于外圈。
当内圈上的自行车手速度过快时,离心惯性力将车向上推至外圈。
速度降低时,重力再将车拉回内圈图7。
图7 赛道上的自行车
以上在列写力平衡方程时并未考虑力矩的平衡。
实际上在运动过程中,重力和离心惯性力作用于质心P,法向约束力和摩擦力作用于车轮与桶壁的接触点Q,P 与Q 并不重合。
以水平圆周运动为例,由于离心惯性力与支承力构成一对力偶,车体必须向一侧倾斜,使重力与摩擦力构成方向相反的力偶与之平衡。
将P 与Q 的连线作为车的纵轴,相对垂直轴的倾角为θ,设h 为车直立时的质心高度,即P 与Q 之间的距离图5。
则作用力对质心P 的合力矩M 沿切线轴y 的负方向,模为
此力矩必须平衡因动量矩改变方向而出现的陀螺力矩Mg
其中,L 为前后车轮旋转产生的对质心的动量矩,沿车轮平面的法线,即x 轴的负方向。
如车轮沿y 轴作无滑动的纯滚动,r 为车轮半径,则车轮的角速度为Ω=v/r,设J 为车轮的转动惯量,L 的模为L=2Jv/r。
ω 为L 矢量随同车的圆周运动绕Z 轴转动的角速度,模为ω=v/R。
根据图5判断,Mg 指向y 轴的正方向。
从达朗贝尔原理出发,将
解出的Fn、Fz 代入
与ω×L 的模 2Jv²/Rrcosγ 相等,导出
其中,ε=2Jcosγ/mhr 是体现陀螺效应的参数。
由于mhr>>J,ε 为小量。
仅保留ε 的一次项,解出
其中,v²/gR 是向心加速度与重力加速度之比,倾角θ 随着速度的增高和圆周半径的减小而加大。
如忽略微弱的陀螺效应,则简化为θ≈arctan²/gR。
将v 以最低飞车速度 gR/f1/2代入,化作θ≈arctanf =68°。
这就是图1、图2和图7中所有飞驰中的车体都保持倾斜姿态的原因。
改写自:刘延柱,飞车走壁的动力学. 力学与实践,2014,362: 246248
刘延柱. 趣味刚体动力学第2版,2.7节. 北京:高等教育出版社,2018
北京神州翔宇技术有限公司
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